Question

已知关于x的方程sinx+cosx=a与tanx+cotx=a的解集都是空集，则实数a的取值范围是

(-2，-

2

)∪(

2

，2)

．

Answer 1

分析：利用两角和的正弦函数化简方程sinx+cosx=a为：

2

sin（ x+

π

4

）=a，由解集是空集求出实数a的取值范围．再由
tanx+cotx=a的解集是空集求出实数a的取值范围，将实数a的这两个取值范围取交集，即得所求．

解答：解：方程sinx+cosx=a 化简为：

2

sin（ x+

π

4

）=a，即 sin（ x+

π

4

）=

2 a

2

，
若没有解集，那么

2 a

2

＞1或

2 a

2

＜-1，
解得 a＞

2

或a＜-

2

，即实数a的取值范围是 （

2

，+∞）∪（-∞，-

2

）．
∵tanx+cotx≥2，或tanx+cotx≤-2，若tanx+cotx=a的解集是空集，
则有-2＜a＜2，即实数a的取值范围是 （-2，2 ）．
对这两个实数a的取值范围取交集可得(-2，-

2

)∪(

2

，2)，
故答案为 (-2，-

2

)∪(

2

，2)．

点评：本题考查求三角函数的最值，基本不等式的应用，空集的概念，考查计算能力，是基础题．