Question

已知关于x的方程sinx+cosx=a
（1）若方程有实数解，求实数a的取值范围
（2）若方程x∈[0，π]时有两个相异的实数解，求实数a的范围及两实数解的和．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差公式可得a=

2

sin（x+

π

4

），进而由正弦函数的特点求出

2

sin（x+

π

4

）的值域即可知a的取值范围；
（2）利用两角和与差公式可得a=

2

sin（x+

π

4

），进而把问题转化成y₁=a y₂=sin（x+

π

4

），x∈[0，π]有两个交点问题，将图象画出即可得出答案．

解答：解：（1）∵sinx+cosx=a
∴a=

2

sin（x+

π

4

），
∴-

2

≤a≤

2

（2））∵sinx+cosx=a
∴a=

2

sin（x+

π

4

），
设y₁=a y₂=sin（x+

π

4

），
由题意可知y₁=a y₂=sin（x+

π

4

），x∈[0，π]有两个交点
如图示知a∈[1，

2

]
设两相异实根为x₁，x₂，由图示⇒x₁+x₂=2×

π

4

=

π

2

点评：本题考查三角函数的值域以及两角和与差公式，（2）问将图画出是解题的关键．