Question

已知关于x的方程sinx+cos2x+a=0有实数解，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：若方程cos2x+sinx+a=0有实数解，实数a应该属于函数y=cos2x+sinx的值域，我们结合余弦二倍角公式，再结合二次函数在定区间上的值域求法，易得函数y=cos2x+sinx的值域，进而得到实数a的取值范围．

解答：解：∵cos2x+sinx
=1-2sin²x+sinx
=-2（sinx-

1

4

）²+

9

8

又∵-1≤sinx≤1
∴-2≤-2（sinx-

1

4

）²+

9

8

≤

9

8

∴-2≤-2cos2x+sinx≤

9

8

则方程cos2x+sinx=-a有实数解
∴-2≤-a≤

9

8

故实数a的取值范围-

9

8

≤a≤2

点评：方程f（x）=a有实数解，即a属于函数y=f（x）的值域，然后将方程有实根的问题，转化为求函数值域的问题．