Question

18．如图，平行六面体ABCD-A′B′C′D′，其中AB=4，AD=3，AA′=3，∠BAD=90°，∠BAA′=60°，∠DAA′=60°，则AC′的长为（　　）

• A． $\sqrt{55}$
• B． $\sqrt{65}$
• C． $\sqrt{85}$
• D． $\sqrt{95}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{A{C}^{′}}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{A{A}^{′}}$，可得${\overrightarrow{A{C}^{′}}}^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{AD}}^{2}$+${\overrightarrow{A{A}^{′}}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{A}^{′}}$+2$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{A{A}^{′}}$，再利用数量积运算性质即可得出．

解答 解：${\overrightarrow{AB}}^{2}$=16，${\overrightarrow{AD}}^{2}$=9，${\overrightarrow{A{A}^{′}}}^{2}$=9，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=4×3×cos90°=0，
$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{A}^{′}}$=4×3×cos60°=6，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{A{A}^{′}}$=3×3×cos60°=$\frac{9}{2}$．
∵$\overrightarrow{A{C}^{′}}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{A{A}^{′}}$，
∴${\overrightarrow{A{C}^{′}}}^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{AD}}^{2}$+${\overrightarrow{A{A}^{′}}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{A}^{′}}$+2$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{A{A}^{′}}$
=16+9+9+2×0+2×6+2×$\frac{9}{2}$=55，
∴$|\overrightarrow{A{C}^{′}}|$=$\sqrt{55}$，
故选：A．

点评 本题考查了向量的平行六面体法则、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．