题目内容

17．将三项式（x2+x+1）n展开，当n=0，1，2，3，…时，得到以下等式：
（x2+x+1）0=1
（x2+x+1）1=x2+x+1（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1
（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1
…
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7项的系数为75，则实数a的值为1．

分析 由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7项的系数为30+45a=75，即可求出实数a的值．

解答 解：由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，
所以（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7项的系数为30+45a=75，
所以a=1．
故答案为：1．

点评 本题考查二项式定理的运用以及归纳推理，解题的关键在于发现所给等式的系数变化的规律．

练习册系列答案
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10．设a，b，c∈R，且b＞a，则下列命题一定正确的是（　　）
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8．已知函数f（x）=lnx-a（x-1）2-（x-1）（其中常数a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈（0，1）时，f（x）＜0，求实数a的取值范围．
5．如图，已知三棱锥O-ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直且OA=OB=OC，△ABC为等边三角形，M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且PA=PB．PA=$\sqrt{5}$OC，OP=$\sqrt{6}$OC．
（1）证明：AB⊥平面POC；
（2）求二面角P-OA-B的余弦值．
12．设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”．若f（x）=lnx与g（x）=$\frac{mx-1}{x}$在[$\frac{1}{e}$，e]上是“密切函数”，则实数m的取值范围是[e-2.2]．
2．正整数按图所示的规律排列：

则上起第2013行，左起第2014列的数应为（　　）
A．2013×2014B．2013+2014C．20142D．20132
9．若sin4α+cos4α=1，则sinα+cosα等于±1．
6．已知函数f（x）=sin$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$，x∈R，求：
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（2）f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最值．
7．已知tan（α+β）=3，tan（α-β）=5，则tan2α=（　　）
A．-$\frac{1}{8}$B．$\frac{1}{8}$C．-$\frac{4}{7}$D．$\frac{4}{7}$

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