Question

6．已知函数f（x）=sin$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$，x∈R，求：
（1）函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最值．

Answer 1

分析 （1）根据两角和的正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式求出f（x）的最小正周期，由正弦函数的增区间求出f（x）的单调递增区间；
（2）由x的范围求出$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}$的范围，由正弦函数的最大值求出f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最值．

解答 解：（1）由题意得，$\left.\begin{array}{l}{f（x）=2（\frac{1}{2}sin\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}cos\frac{x}{2}）}\end{array}\right.$
=$\left.\begin{array}{l}{2（cos\frac{π}{3}sin\frac{x}{2}+sin\frac{π}{3}cos\frac{x}{2}）}\end{array}\right.$=$\left.\begin{array}{l}{2sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）}\end{array}\right.$，
由T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{\frac{1}{2}}=4π$得，f（x）的最小正周期是4π，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{x}{2}+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$-\frac{5π}{3}+4kπ≤x≤\frac{π}{3}+4kπ（k∈Z）$，
∴f（x）的单调递增区间是$[-\frac{5π}{3}+4kπ，\frac{π}{3}+4kπ]（k∈Z）$；
（2）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，\frac{7π}{12}]$，
当$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$时，此时$\left.\begin{array}{l}{sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）}\end{array}\right.$=1，
函数f（x）取到最大值是$f{（x）_{max}}=2\end{array}$，
当$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}=\frac{π}{3}$时，此时$\left.\begin{array}{l}{sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）}\end{array}\right.$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
函数f（x）取到最小值是$f{（x）}_{min}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，三角函数周期公式，以及两角和的正弦公式，考查化简、变形能力．