Question

已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+lnx在区间[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）过点P（1，-3）恰好能作函数y=f（x）图象的两条切线，并且两切线的倾斜角互补，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，即可求f（x）的最小值；
（Ⅱ）函数g（x）在区间[1，+∞）上为增函数，可得当x∈[1，+∞）时g'（x）≥0，即lnx+

1

x

≥-(a+1)在[1，+∞）上恒成立，求出左边的最小值，即可求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求出函数y=f（x）在A，B处的切线方程，利用过点P（1，-3），两切线的倾斜角互补，建立方程组，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞）f′(x)=lnx+1，令f′(x)=0，得：x=

1

e

，…（1分）
当x∈（0，+∞）时，f'（x），f（x）的变化的情况如下：

x	(0， 1 e )	1 e	( 1 e ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）		极小值

…（3分）
∴f（x）的最小值是f（

1

e

）=-

1

e

．…（4分）
（Ⅱ）由题意得：g′(x)=lnx+a+1+

1

x

…（5分）
∵函数g（x）在区间[1，+∞）上为增函数，
∴当x∈[1，+∞）时g'（x）≥0，即lnx+

1

x

≥-(a+1)在[1，+∞）上恒成立，
∴h(x)=lnx+

1

x

，…（7分）
∴h′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
∴h(x)=lnx+

1

x

在[1，+∞）上递增，
∴-（a+1）≤h（1）=1，
∴a≥-2…（10分）
（Ⅲ）设两切点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），f'（x）=lnx+1+a
则函数y=f（x）在A，B处的切线方程分别为y=（lnx₁+1+a）（x-x₁）+x₁lnx₁+ax₁=（lnx₁+1+a）x-x₁，
∴y=（lnx₂+1+a）（x-x₂）+x₂lnx₂+ax₂=（lnx₂+1+a）x-x₂
且lnx₁+1+a+lnx₂+1+a=0
即

lnx1+lnx2+2(1+a)=0 lnx1+1+a-x1=-3 lnx2+1+a-x2=-3

也即

x1x2=e-2(1+a) x1+x2=6

即x₁，x₂是方程t²-6t+e^-2（a+1）=0的两个正根，
∴△=36-4e^-2（a+1）＞0，
∴a＞-1-ln3…（15分）

点评：本题考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，考查导数的几何意义，正确求导是关键．