Question

16．设定义域为R的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lg|x-2|，x≠2}\\{4，x=2}\end{array}\right.$，则关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解x_i（i=1，2，3，4，5），则f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+2）=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 画出f（x）的图象，由图象可知，令f（x）=t，则t²+bt+c=0有两个不等的实数根，且其中一个为2，由于lg|x-2|的图象关于直线x=2对称，且其中一个解为2，即有x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10，再由对数的运算性质即可得到答案．

解答 解：画出f（x）的图象，
由于关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，令f（x）=t，则t²+bt+c=0有两个不等的实数根，
且其中一个为2，
画出直线y=m（m≠2），
得到5个交点，其横坐标为x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
设x₃=2，
且x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅，
由于y=lg|x-2|的图象关于直线x=2对称，
则x₁+x₅=x₂+x₄=4，
即有x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10，
则f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+2）=f（12）=lg10=1，
故选：D

点评 本题考查分段函数及运用，考查函数的对称性，以及数形结合的思想方法，同时考查对数的运算，属于中档题．