Question

8．已知定义在R上的函数f（x）=|x-m|+|x|，m∈N^*，存在实数x使f（x）＜2成立．
（1）求实数m的值；
（2）若α，β＞1，f（α）+f（β）=4，求证：$\frac{4}{α}+\frac{1}{β}＞3$．

Answer 1

分析 （1）要使不等式|x-m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，再由m∈N^*，能求出实数m的值．
（2）先求出α+β=3，从而$\frac{4}{α}+\frac{1}{β}$=$\frac{1}{3}（\frac{4}{α}+\frac{1}{β}）（α+β）$，由此利用基本不等式能证明：$\frac{4}{α}+\frac{1}{β}＞3$．

解答 解：（1）因为|x-m|+|x|≥|（x-m）-x|=|m|．…（2分）
要使不等式|x-m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，解得-2＜m＜2．…（4分）
因为m∈N^*，所以m=1．…（5分）
证明：（2）因为α，β＞1，所以f（α）+f（β）=2α-1+2β-1=4，则α+β=3．…（6分）
所以$\frac{4}{α}+\frac{1}{β}=\frac{1}{3}（{\frac{4}{α}+\frac{1}{β}}）（{α+β}）=\frac{1}{3}（{5+\frac{4β}{α}+\frac{α}{β}}）≥\frac{1}{3}（{5+2\sqrt{\frac{4β}{α}•\frac{α}{β}}}）=3$．…（8分）
（当且仅当$\frac{4β}{α}=\frac{α}{β}$，即α=2，β=1时等号成立）…（9分）
又因为α，β＞1，所以$\frac{4}{α}+\frac{1}{β}＞3$恒成立．
故$\frac{4}{α}+\frac{1}{β}＞3$．…（10分）

点评 本题考查实数值的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意基本不等式性质的合理运用．