题目内容
为响应中央“文化强国”号召，某市2013年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造，根据估算，改造后该市在一个月内（以30天记），民族文化旅游人数f（x）（万人）与时间x（天）的函数关系近似满足f（x）=4+
，人均消费g（x）元与时间x（天）的函数关系近似满足g（x）=104-|x-23|．
（1）求该市旅游日收益p（x）（万元）与时间x（1≤x≤30，x∈N*）的函数关系式；
（2）若以最低日收益的15%作为每天的纯收入，该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资，则按此预计两年内能否收回全部投资？并说明理由．
| 4 |
| x |
（1）求该市旅游日收益p（x）（万元）与时间x（1≤x≤30，x∈N*）的函数关系式；
（2）若以最低日收益的15%作为每天的纯收入，该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资，则按此预计两年内能否收回全部投资？并说明理由．
考点：根据实际问题选择函数类型
专题：应用题,函数的性质及应用
分析：（1）根据该城市的旅游日收益=日旅游人数×人均消费的钱数得旅游日收益p（x）（万元）与时间x（1≤x≤30，x∈N*）的函数关系式；
（2）分别研究每一段函数的最值，第一段利用基本不等式求最小值，第二段利用函数的单调性研究最小值，再比较从而得到日最低收入，最后根据题意可判断该村在两年内能否收回全部投资成本．
（2）分别研究每一段函数的最值，第一段利用基本不等式求最小值，第二段利用函数的单调性研究最小值，再比较从而得到日最低收入，最后根据题意可判断该村在两年内能否收回全部投资成本．
解答：
解：（1）根据该城市的旅游日收益=日旅游人数×人均消费的钱数得
p(x)=f(x)g(x)=(4+
)(104-|x-23|)，1≤x≤30，x∈N*…5分
（2）P(x)=
…8分
①当1≤x≤23，x∈N*时，
p（x）=4（x+
）+328≥400（当且仅当x=9时，等号成立）
即x=9，p（x）≥400；
②当23＜x≤30，x∈N*时，函数在（23，30]上单调递减…9分
所以x=30，p(x)≥400
＞400，…12分
所以x=9时p（x）取得最小值400，
则两年内的税收为400×15%×30×12×2×1.5%=648＞600，
两年内能收回全部投资． …13分．
p(x)=f(x)g(x)=(4+
| 4 |
| x |
（2）P(x)=
|
①当1≤x≤23，x∈N*时，
p（x）=4（x+
| 81 |
| x |
即x=9，p（x）≥400；
②当23＜x≤30，x∈N*时，函数在（23，30]上单调递减…9分
所以x=30，p(x)≥400
| 14 |
| 15 |
所以x=9时p（x）取得最小值400，
则两年内的税收为400×15%×30×12×2×1.5%=648＞600，
两年内能收回全部投资． …13分．
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．
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| A、1 | ||||
B、
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|
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| ||
B、
| ||
C、
| ||
| D、πa3 |
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