Question

5．函数y=$\root{3}{{x}^{2}}$-x²+2的图象在以点（1，y₁）为切点的切线与坐标轴所围成的三角形面积等于（　　），函数y=x³图象上过点（1，y₂）的切线与两条坐标轴所围成的三角形面积等于（　　）

• A． $\frac{25}{6}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$或$\frac{1}{24}$
• D． $\frac{15}{4}$
• E． $\frac{7}{3}$
• F． $\frac{15}{4}$或$\frac{7}{3}$

Answer 1

分析 求出函数y=$\root{3}{{x}^{2}}$-x²+2的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程，再令x=0，y=0，求得与坐标轴的交点，可得三角形的面积；
求得函数y=x³的导数，设出切点，求得切线的斜率，写出切线的方程，代入点（1，1），求得切线的斜率，可得切线的方程，令x=0，y=0，求出与坐标轴的交点，计算三角形的面积即可．

解答 解：函数y=$\root{3}{{x}^{2}}$-x²+2的导数为y′=$\frac{2}{3}$•${x}^{-\frac{1}{3}}$-2x，
以点（1，y₁）为切点的切线斜率为$\frac{2}{3}$-2=-$\frac{4}{3}$，
切点为（1，2），
可得以点（1，y₁）为切点的切线方程为y-2=-$\frac{4}{3}$（x-1），
令x=0，可得y=$\frac{10}{3}$；令y=0，可得x=$\frac{5}{2}$．
则切线与坐标轴所围成的三角形面积等于$\frac{1}{2}$•$\frac{10}{3}$•$\frac{5}{2}$=$\frac{25}{6}$，
故选：A；
函数y=x³的导数为y′=3x²，设切点为（m，m³），
即有切线的斜率为3m²，
切线的方程为y-m³=3m²（x-m），
由y₂=1，代入点（1，1），可得
2m³-3m²+1=0，即为（m-1）²（2m+1）=0，
解得m=1或-$\frac{1}{2}$，
由m=1，可得切线的方程为y-1=3（x-1），
由x=0，解得y=-2；y=0，可得x=$\frac{2}{3}$．
即有所求三角形的面积为$\frac{1}{2}$•2•$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}$；
由m=-$\frac{1}{2}$，可得y-1=$\frac{3}{4}$（x-1），
由x=0，解得y=$\frac{1}{4}$；y=0，可得x=-$\frac{1}{3}$．
即有所求三角形的面积为$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{24}$．
即有切线与两条坐标轴所围成的三角形面积为$\frac{2}{3}$或$\frac{1}{24}$．
故选：C．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，考查三角形的面积的求法，属于中档题和易错题．