Question

5．已知函数f（x）=x-ae^x有两个零点x₁，x₂，且x₁＜x₂，则下列说法中正确的是（　　）

• A． a＞$\frac{1}{e}$
• B． x₁-x₂随着a的增大而减小
• C． x₁x₂＜1
• D． x₁+x₂随着a的增大而增大

Answer 1

分析 作出y=e^x与y=$\frac{x}{a}$的函数图象，利用导数的几何意义得出a的临界值，从而得出a的范围；结合图象得出x₁-x₂和x₁+x₂的变化趋势．

解答 解：令f（x）=0得e^x=$\frac{x}{a}$，
作出y=e^x与y=$\frac{x}{a}$的函数图象，则两图象有2个交点，

设y=kx与y=e^x相切，切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=k{x}_{0}}\\{{y}_{0}={e}^{{x}_{0}}}\\{{e}^{{x}_{0}}=k}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=1}\\{{y}_{0}=e}\\{k=e}\end{array}\right.$．
∴$\frac{1}{a}＞e$，解得0＜a＜$\frac{1}{e}$．故A错误；
由图象可知当a逐渐增大时，两交点越来越近，即x₁-x₂逐渐增大，故B错误；
由图象可知：当a→0⁺时，x₂→+∞，故x₁+x₂→+∞，
而当a→$\frac{1}{e}$时，x₁→1，x₂→1，故x₁+x₂→2，显然D错误；
故选C．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．