Question

已知定点，过点F且与直线相切的动圆圆心为点M，记点M的轨迹为曲线E.

（I）求曲线E的方程；

（II）若点A的坐标为，与曲线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线于点S，T.试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)由题意, 点到点的距离等于它到直线的距离, 故点的轨迹是以点为焦点, 为准线的抛物线.         

∴曲线的方程为.                  

（Ⅱ）设点的坐标分别为，依题意得，.

        由消去得，

        ∴        直线的斜，

        故直线的方程为.                   

        令，得，

        ∴点的坐标为.                    

        同理可得点的坐标为.                

        ∴

              .   

∴.  设线段的中点坐标为，

         则

            .      

         ∴以线段为直径的圆的方程为.

                                                              

         展开得       

         令，得，解得或.            

         ∴以线段为直径的圆恒过两个定点.      

【思路点拨】（I）根据抛物线的定义可知曲线为抛物线；（II）联立直线方程可找出两交点之间的关系，求出ST的中点，建立以ST为直径的圆的方程，利用中点坐标的关系表示出圆的方程，可知有两个定点.