Question

已知有限集.如果A中元素满足，就称A为“复活集”，给出下列结论：

①集合是“复活集”；

②是“复活集”，则；

③不可能是“复活集”；

④若，则“复活集”A有且只有一个，且.

其中正确的结论是___________.（填上你认为所有正确的结论序号）

Answer 1

①③④解析 ：解：易判断①是正确的；

②不妨设a₁+a₂=a₁a₂=t，则由韦达定理知a₁，a₂是一元二次方程x²-tx+t=0的两个根，由Δ>0，可得t<0，或t>4，故②错；

③不妨设A中a₁<a₂<a₃<…<a_n，由a₁a₂…a_n=a₁+a₂+…+a_n<na_n，得<n，当n=2时，即有a₁<2，∴a₁=1，于是1+a₂=a₂，a₂无解，即不存在满足条件的“复活集”A，故③正确;当n=3时，a₁a₂<3，故只能a₁=1，a₂=2，求得a₃=3，于是“复活集”A只有一个，为{1，2，3}．当n≥4时，由≥1×2×3×…×(n-1)，即有n>(n-1)!，也就是说“复活集”A存在的必要条件是n>(n-1)!，事实上，(n-1)!≥(n-1)(n-2)=n²-3n+2=(n-2)²-2+n>2，矛盾，∴当n≥4时不存在复活集A，故④正确．

【思路点拨】根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理及反证法，逐一判断四个结论的正误，进而可得答案．