Question

18．在5×5的表格填上数字，设在第i行第j列所组成的数字为a_ij，a_ij∈{0，1}，a_ij=a_ji（1≤i，j≤5），则表格中共有5个1的填表方法种数为326．

Answer 1

分析 根据题意，按数字1出现的位置分三种情况讨论，①、5个1都出现在i=j即a₁₁、a₂₂、a₃₃、a₄₄、a₅₅这5个表格中，②、有1个1出现在a₁₁、a₂₂、a₃₃、a₄₄、a₅₅这5个表格中，剩余4个1在其他位置，③、有3个1出现在a₁₁、a₂₂、a₃₃、a₄₄、a₅₅这5个表格中，剩余2个1在其他位置，分别求出每种情况下填表方法的数目，进而由分类计数原理计算可得答案．

解答 解：根据题意，在5×5的表格中，有5个i=j的表格，即a₁₁、a₂₂、a₃₃、a₄₄、a₅₅，10个i＞j的表格，10个i＜j的表格；
要求5×5的表格种恰有5个1，则对1出现的位置分3种情况讨论：
①、5个1都出现在i=j即a₁₁、a₂₂、a₃₃、a₄₄、a₅₅这5个表格中，有1种情况；
②、有1个1出现在a₁₁、a₂₂、a₃₃、a₄₄、a₅₅这5个表格中，剩余4个1在其他位置，
需要先在a₁₁、a₂₂、a₃₃、a₄₄、a₅₅这5个表格中，选出1个，有C₅¹种情况，
在剩下的10个a_ij（i＞j）表格中，任选2个，有C₁₀²种情况，
则有C₅¹×C₁₀²=225种填表方法；
③、有3个1出现在a₁₁、a₂₂、a₃₃、a₄₄、a₅₅这5个表格中，剩余2个1在其他位置，
需要先在a₁₁、a₂₂、a₃₃、a₄₄、a₅₅这5个表格中，选出3个，有C₅³种情况，
在剩下的10个a_ij（i＞j）表格中，任选1个，有C₁₀¹种情况，
则有C₅³×C₁₀¹=100种填表方法；
则一共有1+225+100=326种填表方法；
故答案为：326．

点评 本题考查排列组合的应用，关键是正确理解题意的要求，进而进行分类讨论．