Question

已知a=π³，b=3^π，c=e^π，则a，b，c的大小关系为

 

．

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数y=x^π的增减性判断b＞c，再构造函数f（x）=x³-3^x，判断a＜b；最后判断c＜a；即可得出结论．

解答： 解：∵a=π³，b=3^π，c=e^π，
函数y=x^π是R上的增函数，且3＞e＞1，
∴3^π＞e^π，即b＞c＞1；
设f（x）=x³-3^x，则f（3）=0，
∴x=3是f（x）的零点，
∵f′（x）=3x²-3^x•ln3，
∴f′（3）=27-27ln3＜0，
f′（4）=48-81ln3＜0，
∴函数f（x）在（3，4）上是单调减函数，
∴f（π）＜f（3）=0，
∴π³-3^π＜0，
即π³＜3^π，
∴a＜b；
又∵e^π＜π^e＜π³，
∴c＜a；
综上，c＜a＜b．
故答案为：c＜a＜b．

点评：本题考查了利用函数的单调性判断大小的应用问题，是较难的题目．