Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n＞0，a₂=2，S₄=S₂+12，数列{b_n}的前n项和为T_n，b₁=1，点（T_n+1，T_n）在直线

x

n+1

-

y

n

=

1

2

上．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项；
（Ⅱ）若数列{

bn

an

}的前n项和为B_n，不等式B_n≥m-

1

2n-2

对于n∈N^*恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等比数列{a_n}的前n项和为S_n，由s₄=s₂+12以及a₂=2，求出公比q然后求出通项公式，通过点（T_n+1，T_n）在直线

x

n+1

-

y

n

=

1

2

上，推出{

Tn

n

}是等差数列，求出Tn=

n(n+1)

2

，通过b_n=T_n-T_n-1，求解b_n．
（Ⅱ）通过错位相减法求出Bn=4-

n+2

2n-1

，利用不等式Bn≥m-

1

2n-2

对于n∈N^*恒成立转化为4-

n

2n-1

≥m对于n∈N^*恒成立，求解4-

n+1

2n

的最小值，即可得到实数m的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由s₄=s₂+12得s4-s2=a3+a4=a2q+a2q2=12，
又a₂=2，q²+q-6=0
解得：q=2或q=-3（舍）故an=2n-1
因点点（T_n+1，T_n）在直线

x

n+1

-

y

n

=

1

2

上，所以

Tn+1

n+1

-

Tn

n

=

1

2

，
故{

Tn

n

}是以

T1

1

=1为首项，

1

2

为公差的等差数列，则

Tn

n

=1+

1

2

(n-1)，
则Tn=

n(n+1)

2

n≥2时，bn=Tn-Tn-1=

n(n+1)

2

-

(n-1)n

2

=n，b₁=1满足该式，
故b_n=n
（Ⅱ）Bn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，则

1

2

Bn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

两式相减得(1-

1

2

)Bn=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

所以Bn=4-

n+2

2n-1

不等式Bn≥m-

1

2n-2

对于n∈N^*恒成立　即4-

n+2

2n-1

≥m-

1

2n-2

则4-

n

2n-1

≥m对于n∈N^*恒成立
那么m的最大值即为4-

n

2n-1

的最小值
由4-

n+1

2n

-(4-

n

2n-1

)=

n-1

2n

知
当n=1或2时4-

n

2n-1

的最小值为3，
所以实数m的最大值为3

点评：本题考查数列的综合应用，数列与函数相结合，函数的最值，数列求和，考查分析问题解决问题的能力．