Question

关于函数f（x）=

b

|x|-a

（a＞0，b＞0）有下列命题：
①函数f（x）的值域为（-∞，0）∪（0，+∞）；
②直线x=k（k∈R）与函数f（x）图象有唯一交点；
③函数y=f（x）+1有两个零点；
④函数定义域为D，则任意x∈D，f（-x）=f（x）；
⑤当a=b=1时，以点（0，1）为圆心病情与函数相切的圆的最小面积为3π．
其中所有叙述正确的命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据于函数f（x）=

b

|x|-a

（a＞0，b＞0），逐一分析函数的定义域，值域，零点个数，奇偶性等性质，进而得到5个结论的真假，可得答案．

解答： 解：函数f（x）=

b

|x|-a

（a＞0，b＞0）的定义域为{x|x≠±a}，值域为：（-∞，-

b

a

]∪（0，+∞），故①错误；
当k=±a时，直线x=k（k∈R）的函数f（x）图象无交点，故②错误；
令f（x）+1=0，则|x|=a-b，若a≤b，则方程无两解，即函数y=f（x）+1有无两个零点，故③错误；
函数定义域为D，则任意x∈D，f（-x）=

b

|-x|-a

=

b

|x|-a

=f（x），故④正确；
当a=b=1时，f（x）=

1

|x|-1

，则点（0，1）为圆心的圆与函数图象相切时，
若切点横坐标在（-1，1）之间，则半径为2，
若切点横坐标在（-∞，-1）∪（1，+∞），设其中一个切点坐标为（x，

1

x-1

），（x＞1）
则R²=x2+(

1

x-1

-1)2=[

1

x-1

-(x-1)+1]2+3≥3，
故半径最小值为

3

，则圆的最小面积为3π，故⑤正确；
故所有叙述正确的命题的序号是④⑤，
故答案为：④⑤

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的定义域，值域，零点个数，奇偶性等性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．