Question

设数列{a_n} 的前n项和为S_n，满足2S_n=a_n+1﹣2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁，a₂+5，a₃成等差数列．

（1）求a₁，a₂，a₃的值；

（2）求证：数列{aⁿ+2ⁿ}是等比数列

（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．

Answer 1

解：（1）因为a₁，a₂+5，a₃成等差数列，所以a₁+a₃=2（a₂+5），

当n=1时，2a₁=a₂﹣3，

当n=2时，2（a₁+a₂）=a₃﹣7，

所以联立①②③解得，a₁=1，a₂=5，a₃=19．

（2）由，得，

两式相减得，所以．

因为，所以是首项为3，公比为3的等比数列．

（3）a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ），又a₁=1，a₁+2¹=3，

所以a_n+2ⁿ=3ⁿ，即a_n=3ⁿ﹣2ⁿ．因为，所以，

所以当n≥2时，，两边同时相乘得，

所以．