Question

已知函数f（x）=ln（x+

1

x

），且f（x）在x=

1

2

处的切线方程为y=g（x）．
（1）求y=g（x）的解析式；
（2）证明：当x＞0时，恒有f（x）≥g（x）；
（3）证明：若a_i＞0，且

n

i=1

a_i=1，则（a₁+

1

a1

）（a₂+

1

a2

）…（a_n+

1

an

）≥（

n2+1

n

）ⁿ（1≤i≤n，i，n∈N^*）

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用,点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用

分析：（1）求出原函数的导函数，得到切线的斜率k=f′(

1

2

)=-

6

5

，再求出f（

1

2

）的值，代入直线方程的点斜式得答案；
（2）令t（x）=f（x）-g（x），求导后得到导函数的零点，进一步得到函数的极小值点，求得t(x)min=t(

1

2

)=0说明ln(x+

1

x

)≥-

6

5

x+

3

5

+ln

5

2

；
（3）由（1）知f′(

1

n

)=

n-n3

1+n2

，求出f（x）在(

1

n

，ln(n+

1

n

))处的切线方程，然后证明f(x)≥

n-n3

n2+1

x-

1-n2

1+n2

+ln(n+

1

n

)，得到
ln(ai+

1

ai

)≥

n-n3

1+n2

ai-

1-n2

1+n2

+ln(n+

1

n

)，进一步得到

n

i=1

ln(ai+

1

ai

)≥

n-n3

n2+1

n

i=1

ai-

n(1-n2)

1+n2

+nln(n+

1

n

)=nln(n+

1

n

)，则结论得证．

解答： （1）解：由f（x）=ln（x+

1

x

），得f′(x)=

x

x2+1

(1-

1

x2

)=

x2-1

x3+x

，
∴切线的斜率k=f′(

1

2

)=-

6

5

．
又f（

1

2

）=ln

5

2

，
∴f（x）在x=

1

2

处的切线方程为y-ln

5

2

=-

6

5

(x-

1

2

)，即y=g（x）=-

6

5

x+

3

5

+ln

5

2

；

（2）证明：令t（x）=f（x）-g（x）=ln(x+

1

x

)+

6

5

x-

3

5

-ln

5

2

(x＞0)，
∵t′(x)=

x2-1

x3+x

+

6

5

=

(x- 1 2 )(6x2+8x+10)

5(x3+x)

．
∴当0＜x＜

1

2

时，t′（x）0，
∴t(x)min=t(

1

2

)=0．
故t（x）≥0，即ln(x+

1

x

)≥-

6

5

x+

3

5

+ln

5

2

；

（3）证明：由（1）知，f′(

1

n

)=

n-n3

1+n2

，
故f（x）在(

1

n

，ln(n+

1

n

))处的切线方程为y-ln(n+

1

n

)=

n-n3

n2+1

(x-

1

n

)，
即y=

n-n3

n2+1

x-

1-n2

1+n2

+ln(n+

1

n

)．
先证f(x)≥

n-n3

n2+1

x-

1-n2

1+n2

+ln(n+

1

n

)，
令h（x）=ln(x+

1

x

)-

n-n3

n2+1

x+

1-n2

1+n2

-ln(n+

1

n

)（x＞0），
∵h′(x)=

x2-1

x3+x

-

n-n3

n2+1

=

(n3-n)x3+(n2+1)x2+(n3-n)x-n2-1

(n2+1)(x3+x)

=

(x- 1 n )[(n3-n)x2+2n2x+n3+n]

(x3+x)(n2+1)

．
∴0＜x＜

1

n

时h′（x）0．
∴h(x)min=h(

1

n

)=0．
∴f(x)≥

n-n3

n2+1

x-

1-n2

1+n2

+ln(n+

1

n

)，
∵a_i＞0，
∴ln(ai+

1

ai

)≥

n-n3

1+n2

ai-

1-n2

1+n2

+ln(n+

1

n

)．
∴

n

i=1

ln(ai+

1

ai

)≥

n-n3

n2+1

n

i=1

ai-

n(1-n2)

1+n2

+nln(n+

1

n

)=nln(n+

1

n

)．
∴（a₁+

1

a1

）（a₂+

1

a2

）…（a_n+

1

an

）≥（

n2+1

n

）ⁿ ．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，对于（3）的证明，关键在于对f(x)≥

n-n3

n2+1

x-

1-n2

1+n2

+ln(n+

1

n

)的证明，体现了数学转化思想方法，本题对于学生的计算能力要求过高，是难度较大的题目．