题目内容
已知
=（
，-1），
=（
，
）．
（1）证明：
⊥
；
（2）若存在实数k和t，满足
=（t，2）
+（t2-t-5）
，
=-k
+4
，且
⊥
，试求出k关于t的关系式k=f（t）．
（3）根据（2）的结论，试求出k=f（t）在（-2，2）上的最小值．
| a |
| 3 |
| b |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
（1）证明：
| a |
| b |
（2）若存在实数k和t，满足
| x |
| a |
| b |
| y |
| a |
| b |
| x |
| y |
（3）根据（2）的结论，试求出k=f（t）在（-2，2）上的最小值．
考点：平面向量数量积的运算
专题：函数的性质及应用,平面向量及应用
分析：（1）由
•
=0判定
⊥
；
（2）由
⊥
得
•
=0，求出k关于t的关系式；
（3）由k关于t的关系式k=f（t），利用基本不等式求出t∈（-2，2）时的最小值．
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）由
| x |
| y |
| x |
| y |
（3）由k关于t的关系式k=f（t），利用基本不等式求出t∈（-2，2）时的最小值．
解答：
解：（1）∵
•
=
×
-1×
=0，
∴
⊥
；
（2）∵
⊥
，
∴
•
=0，
即-4k（t+2）+4（t2-t-5）=0；
∴k=
（t≠2）；
（3）∵k=
=
=（t+2）+
-5，
设t+2=m，∵t∈（-2，2），∴m∈（0，4）；
∴k=m+
-5在m∈（0，1）上是减函数，在m∈（1，4）上是增函数；
∴当m=1时，kmin=-3，此时t=-1．
| a |
| b |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴
| a |
| b |
（2）∵
| x |
| y |
∴
| x |
| y |
即-4k（t+2）+4（t2-t-5）=0；
∴k=
| t2-t-5 |
| t+2 |
（3）∵k=
| t2-t-5 |
| t+2 |
=
| (t+2)2-5(t+2)+1 |
| t+2 |
=（t+2）+
| 1 |
| t+2 |
设t+2=m，∵t∈（-2，2），∴m∈（0，4）；
∴k=m+
| 1 |
| m |
∴当m=1时，kmin=-3，此时t=-1．
点评：本题考查了平面向量的应用问题和求函数的最值问题，解题时应根据平面向量的数量积判定两向量垂直，由两向量垂直，它们的数量积为0，是综合题．
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