题目内容

9．设定义在（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）-log2x]=6．若x0是方程f（x）-f′（x）=4的一个解，且${x_0}∈（a，a+1）（a∈{{N}^*}）$，则a=（　　）
A．4B．3C．2D．1

分析 由题意可得f（x）-log2x为定值，设为t，代入可得t=4，进而可得函数的解析式，化方程有解为函数F（x）=f（x）-f′（x）-4=log2x-1xln2有零点，
易得F（1）＜0，F（2）＞0，由零点的判定可得答案．

解答 根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log2x]=6，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-log2x为定值，
设t=f（x）-log2x，则f（x）=t+log2x
又由f（t）=6，可得t+log2t=6，
可解得t=4，故f（x）=4+log2x，f′（x）=$\frac{1}{xln2}$，
又x0是方程f（x）-f′（x）=4的一个解，
所以x0是函数F（x）=f（x）-f′（x）-4=log2x-$\frac{1}{xln2}$的零点，
分析易得F（1）=-$\frac{1}{ln2}$＜0，F（2）=1-$\frac{1}{2ln2}$=1-$\frac{1}{ln4}$＞0，
故函数F（x）的零点介于（1，2）之间，故a=1，
故答案为：1

点评 本题主要考察函数零点定理的判定，属于中档题．

练习册系列答案
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其中正确命题的序号是（3）．

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