Question

9．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$\frac{{{b^2}-{a^2}-{c^2}}}{ac}$=$\frac{{cos（{A+C}）}}{sinAcosA}$．
（1）求角A；
（2）若a=$\sqrt{2}$，求bc的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{{{b^2}-{a^2}-{c^2}}}{ac}$=$\frac{{cos（{A+C}）}}{sinAcosA}$，利用余弦定理可得-2cosB=$\frac{-cosB}{sinAcosA}$，cosB≠0，化为：sinAcosA=$\frac{1}{2}$，与sin²A+cos²A=1联立基础即可得出．．
（2）由余弦定理可得：2=b²+c²-2bccos45°，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{{{b^2}-{a^2}-{c^2}}}{ac}$=$\frac{{cos（{A+C}）}}{sinAcosA}$，∴-2cosB=$\frac{-cosB}{sinAcosA}$，cosB≠0，
化为：sinAcosA=$\frac{1}{2}$，又sin²A+cos²A=1，A为锐角，解得A=45°．
（2）由余弦定理可得：2=b²+c²-2bccos45°≥2bc-$\sqrt{2}$bc，可得bc≤2+$\sqrt{2}$，当且仅当b=c=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$时取等号．
∴0＜bc≤2+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了余弦定理、三角形的边角大小关系、基本不等式的性质、三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．