Question

已知函数f（x）=x-

2a-1

x

-2alnx（a∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在x=2时取极值，求实数a的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由f′(x)=1+

2a-1

x2

-

2a

x

，依题意有：f'（2）=0，即1+

2a-1

4

-a=0，通过检验满足在x=2时取得极值．
（Ⅱ）依题意有：f_min（x，）≥0从而f′(x)=1+

2a-1

x2

-

2a

x

=

x2-2ax+(2a-1)

x2

=

(x-(2a-1))(x-1)

x2

，令f′（x）=0，得：x₁=2a-1，x₂=1，通过讨论①当2a-1≤1即a≤1时②当2a-1＞1即a＞1时，进而求出a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′(x)=1+

2a-1

x2

-

2a

x

，
依题意有：f'（2）=0，即1+

2a-1

4

-a=0，
解得：a=

3

2

检验：当a=

3

2

时，
f′(x)=1+

2

x2

-

3

x

=

x2-3x+2

x2

=

(x-1)(x-2)

x2

此时：函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
满足在x=2时取得极值
综上：a=

3

2

．
（Ⅱ）依题意有：f_min（x，）≥0
f′(x)=1+

2a-1

x2

-

2a

x

=

x2-2ax+(2a-1)

x2

=

(x-(2a-1))(x-1)

x2

，
令f′（x）=0，
得：x₁=2a-1，x₂=1，
①当2a-1≤1即a≤1时，
函数f'（x）≥0在[1，+∞）恒成立，
则f（x）在[1，+∞）单调递增，
于是f_min（x）=f（1）=2-2a≥0，
解得：a≤1；
②当2a-1＞1即a＞1时，
函数f（x）在[1，2a-1]单调递减，在[2a-1，+∞）单调递增，
于是f_min（x）=f（2a-1）＜f（1）=2-2a＜0，不合题意，
此时：a∈Φ；
综上所述：实数a的取值范围是a≤1．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．