Question

已知函数f（x）=alnx-x．
（1）当a=1时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）≤a对x∈[1，+∞]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f（x）=lnx-x，得f′（x）=

1

x

-1；令f′（x）=0，解得：x=1．从而求出函数的单调区间，进而得到f（x）的极大值f（1）=-1．
（2）先求出函数的导函数为：f′（x）=

a

x

-1=

a-x

x

，x∈[1，+∞），再分别讨论①当a≤0时，②当a＞0时的情况，从而综合得出结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-x，
∴f′（x）=

1

x

-1；
令f′（x）=0，
解得：x=1．
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，
∴f（x）是增函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）是减函数．
∴f（x）的极大值f（1）=-1．
（2）f′（x）=

a

x

-1=

a-x

x

，x∈[1，+∞），
①当a≤0时，f′（x）＜0，
∴f（x）是减函数，即f（x）≤f（1）=-1，
∴-1≤a≤0；
②当a＞0时，当x∈（0，a）时，f′（x）＞0，
∴f（x）是增函数；
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）是减函数．
（ⅰ）当0＜a≤1时，在x∈[1，+∞）时f（x）是减函数，即f（x）≤f（1）=-1，
∴0＜a≤1；
（ⅱ） 当a＞1时，当x∈（1，a）时，f′（x）＞0，
∴f（x）是增函数；
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）是减函数．
∴f（x）≤f（a）=alna-a，
即alna-a≤a，
∴1＜a≤e²，
综上：-1≤a≤e²．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，函数的恒成立问题，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．