Question

15．已知圆C关于y轴对称，经过抛物线y²=4x的焦点，且被直线y=x分成两段弧长之比为1：2
（Ⅰ）求圆C的方程
（Ⅱ）若圆C的圆心在x轴下方，过点P（-1，2）作直线l与圆C相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意设出圆的标准方程，圆c关于y轴对称，经过抛物线y²=4x的焦点，被直线y=x分成两段弧长之比为1：2，写出a，r的方程组，解方程组得到圆心和半径；
（Ⅱ）圆C的方程为x²+（y+1）²=2．设直线l方程为y-2=k（x+1），利用过点P（-1，2）作直线l与圆C相切，建立方程，即可求直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）设圆C的方程为x²+（y-a）²=r²
∵抛物线y²=4x的焦点F（1，0）
∴1+a²=r² ①
又直线y=x分圆的两段弧长之比为1：2，
可知圆心到直线y=x的距离等于半径的$\frac{1}{2}$；
∴$\frac{|a|}{\sqrt{2}}=\frac{|r|}{2}$  ②
解①、②得a=±1，r²=2 
∴所求圆的方程为x²+（y±1）²=2；
（Ⅱ）圆C的方程为x²+（y+1）²=2．
设直线l方程为y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0，则$\frac{|0+1+k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=-1或7，
∴直线l的方程为x+y-1=0或7x-y+9=0．

点评 本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．