Question

定义在R上的函数f（x）满足：①当x∈[1，e²]时，f（x）=lnx；②当x∈[

1

e2

，1）时，f（x）•f（

1

x

）=1．若函数g（x）=f（x）-ax，x∈[

1

e2

，e²]有两个不同零点，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：首先求出x∈[

1

e2

，1）时，f（x）的解析式；然后把方程转换为两个函数y=a，和y=

f(x)

x

，画出它们的图象，利用数形结合即可求出a的取值范围．

解答： 解：当x∈[

1

e2

，1）时，

1

x

∈[1，e²]，
可得f（

1

x

）=ln

1

x

=-lnx，
因为当x∈[

1

e2

，1）时，f（x）•f（

1

x

）=1，
所以当x∈[

1

e2

，1）时，f（x）=-

1

lnx

，
则f（x）=

lnx，x∈[1，e2] - 1 lnx ，x∈[ 1 e2 ，1)

，

f(x)

x

=

lnx x ，x∈[1，e2] - 1 xlnx ，x∈[ 1 e2 ，1)

；
∵函数y=

f(x)

x

=

lnx

x

，x∈[1，e2]，
∴y′=

1-lnx

x2

，
令y′=0，得x=e，
当e≤x≤e²时，y′≤0，f（x）为减函数，
当1≤x＜e时，y′＞0，f（x）为增函数，
∴f（x）在x=e处取极大值，也是最大值，
∴y最大值为f（e）=e^-1=

1

e

；
当

f(x)

x

=-

1

xlnx

，x∈[

1

e2

，1)，
x=

1

e2

时，

f(x)

x

的最小值为-

1

1 e2 •ln 1 e2

=

e2

2

，
分别画出y=a，和y=

f(x)

x

的图象，
所以函数g（x）=f（x）-ax，x∈[

1

e2

，e²]有两个不同零点，
则实数a的取值范围是（0，

1

e

）．

点评：本题主要考查了方程的根的存在性以及根的个数的判断，属于中档题，解答此题的关键是利用数形结合，使复杂的问题简单化．