Question

已知抛物线x²＝4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线交抛物线于A、B两点，抛物线在A、B两点处的切线交于点M.

(1) 求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列；

(2) 设直线MF交该抛物线于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值．

Answer 1

 (1) 证明：由已知，得F(0，1)，显然直线AB的斜率存在且不为0,

则可设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

由消去y，得x²－4kx－4＝0，显然Δ＝16k²＋16>0.

所以x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－4，

由x²＝4y，得y＝x²，所以y′＝x, 所以，直线AM的斜率为k_AM＝x_1,

所以，直线AM的方程为y－y₁＝x₁(x－x₁)，又x＝4y_1,

所以，直线AM的方程为x₁x＝2(y＋y₁)　①，

同理，直线BM的方程为x₂x＝2(y＋y₂)　②，

②－①并据x₁≠x₂得点M的横坐标x＝，

即A、M、B三点的横坐标成等差数列．

(2) 解：由①②易得y＝－1，所以点M的坐标为(2k，－1)(k≠0).

所以k_MF＝＝－， 则直线MF的方程为y＝－x＋1，

设C(x₃，y₃)，D(x₄，y₄)

由消去y，得x²＋x－4＝0，显然Δ＝＋16>0,

所以x₃＋x₄＝－，x₃x₄＝－4，

 

＝

因为k_MF·k_AB＝－1，所以AB⊥CD ，

所以S_ACBD＝|AB|·|CD|＝8≥32,

当且仅当k＝±1时，四边形ACBD面积取到最小值32.