Question

8．在极坐标系中，P为曲线C₁：p=2cosθ上的任意一点，点Q在射线OP上，且满足|OP|•|OQ|=6，记Q点的轨迹为C₂．
（Ⅰ）求曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l：θ=$\frac{π}{3}$分别交C₁与C₂于点A、B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得Q（ρ，θ），P（ρ′，α），由|OP|•|OQ|=6，得2ρcosθ=1，由此能求出曲线C₂的直角坐标方程．
（Ⅱ）求出曲线C₁：x²+y²-2x=0，曲线C₂：x=3，直线l：y=$\sqrt{3}x$，由此能求出|AB|．

解答 解：（Ⅰ）∵P为曲线C₁：ρ=2cosθ上的任意一点，点Q在射线OP上，
∴Q（ρ，θ），P（ρ′，α），
∵满足|OP|•|OQ|=6，∴ρ•ρ′=6，
∵M是C₁上任意一点，∴ρ₂sinθ=3，即ρ₁=3sinθ．
∴曲线C₂的极坐标方程为ρ=3sinθ，
∴x=3．
即曲线C₂的直角坐标方程x=3．
（Ⅱ）曲线C₁：p=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，
∴曲线C₁：x²+y²-2x=0，是以（1，0）为圆心，以$r=\frac{1}{2}\sqrt{（-2）^{2}}$=1为半径的圆，
曲线C₂：x=3，
直线l：θ=$\frac{π}{3}$，即y=$\sqrt{3}x$，
取立$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-1=0}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
∵直线l：θ=$\frac{π}{3}$分别交C₁与C₂于点A、B两点，
∴|AB|=$\sqrt{（\frac{1}{2}-3）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}-3\sqrt{3}）^{2}}$=5．

点评 本题考查曲线的直角坐标的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式、两点间距离公式的合理运用．