题目内容

对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且.这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．
（Ⅰ）试问经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）设，．若，且的各项之和为．
（ⅰ）求，；
（ⅱ）若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由．
（Ⅰ）解：数列不能结束，各数列依次为；；；；；…．
以下重复出现，所以不会出现所有项均为的情形．            ………3分
（Ⅱ）解：（ⅰ）因为的各项之和为，且，所以为的最大项，
所以最大，即，或． …………5分
当时，可得
由，得，即，故．…7分
当时，同理可得，．    ………8分         
（ⅱ）方法一：由，则经过次“变换”得到的数列分别为：；；；；；．
由此可见，经过次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列，与数列“结构”完全相同，但最大项减少12．
因为，
所以，数列经过次“变换”后得到的数列为．
接下来经过“变换”后得到的数列分别为：；；；；；
；，……
从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．
所以经过次“变换”得到的数列各项和最小，的最小值为．
……………13分
方法二：若一个数列有三项，且最小项为，较大两项相差，则称此数列与数列 “结构相同”．
若数列的三项为，则无论其顺序如何，经过“变换”得到的数列的三项为(不考虑顺序) ．
所以与结构相同的数列经过“变换”得到的数列也与结构相同，除外其余各项减少，各项和减少．
因此，数列经过次“变换”一定得到各项为 (不考虑顺序)的数列．
通过列举，不难发现各项为的数列，无论顺序如何，经过“变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．
所以，至少通过次“变换”，得到的数列各项和最小，故的最小值为．
……………13分
略
练习册系列答案
相关题目
已知数列满足：，
（Ⅰ）计算的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.
已知数列的前项和．
（1）计算，，，；
（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论
在数列中，，．
（Ⅰ）设．证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列的前项和．
已知数列的前n项的和，数列是正项等比数列，且满足.
（1求数列和的通项公式；
（2记，求数列的前n项的和.
已知数列的通项公式是，其前项和是，对任意的 且，则的最大值是（   ）
A．B．C．D．
已知是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则     
A．2B．6C．8D．10
两个等差数列和,其前项和分别为,且则等于 （  ）
A．B．C．D．
设数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1，b1．若a1＋b1＝5，a1>b1（a1，b1，n∈N*），则数列的前10项的和等于
A．55B．70
C．85D．100

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