Question

如图，多面体ABCD-EFG中，底面ABCD为正方形，GD∥FC∥AE，AE⊥平面ABCD，其正视图、俯视图及相关数据如图：
（1）求证：平面AEFC⊥平面BDG；
（2）求该几何体的体积；
（3）求点C到平面BDG的距离．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由面面垂直的判定定理，先证线面垂直，再证面面垂直，即证明AC⊥面BDG；
（2）原几何体可以划分为两个四棱锥：B-CFGD和B-AEGD；
（3）过C作CH⊥BD于H，则CH⊥平面BDG，故CH的长即为点C到平面BDG的距离，利用等面积，即可求得结论．

解答： （1）证明：连接AC，BD，
正方形ABCD中，AC⊥BD，又AE∥GD∥FC，AE⊥平面ABCD，
∴GD⊥平面ABCD，
又AC?平面ABCD，则AC⊥GD，
又AC⊥BD，GD∩BD=D，
∴AC⊥平面BDG，
又AC?平面AEFC，∴平面AEFC⊥平面BDG；
（2）解：原几何体可以划分为两个四棱锥：B-CFGD和B-AEGD，而
V_B-CFGD=

1

3

•2²•2=

8

3

，V_B-AEGD=

1

3

•

1

2

（1+2）•2•2=2，
∴所给几何体的体积为：V=

8

3

+2=

14

3

；
（3）解：由条件可知GD⊥平面ABCD，故平面BDG⊥平面ABCD．
过C作CH⊥BD于H，则CH⊥平面BDG，故CH的长即为点C到平面BDG的距离．
在Rt△BCD中，由面积公式可得BD•CH=BC•CD，则CH=

2

，
即点C到平面BDG的距离为

2

．

点评：本题考查了立体几何中面面垂直的判定定理，考查体积的计算，考查点C到平面BDG的距离，属于中档题．