Question

8．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB=1，AB=4．
（Ⅰ）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（Ⅱ）若AC=BC，求二面角D-AE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB是直径，可得BC⊥AC，再由CD⊥平面ABC，得CD⊥BC，由线面垂直的判定可得BC⊥平面ACD，结合面面垂直的判定得平面ADE⊥平面ACD；
（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，求出D，E，A的坐标，进一步求得面DAE的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}=（1，0，2\sqrt{2}）$，由题意可知平面ABE的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}=\overrightarrow{CO}=（\sqrt{2}，\sqrt{2}，0）$，求出两法向量所成角的余弦值，得到二面角D-AE-B的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC，
∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC，
∵AC∩CD=C，∴BC⊥平面ACD．
∵CD∥BE，CD=BE，∴四边形BCDE是平行四边形，
则BC∥DE，∴DE⊥平面ACD．
∵DE?平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD；
（Ⅱ）解：如图所示，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1），E（0，$2\sqrt{2}$，1），A（$2\sqrt{2}$，0，0），
则$\overrightarrow{DE}=（0，2\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{DA}=（2\sqrt{2}，0，-1）$，
设面DAE的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DE}=2\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DA}=2\sqrt{2}x-z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{{n}_{1}}=（1，0，2\sqrt{2}）$，
由题意可知平面ABE的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}=\overrightarrow{CO}=（\sqrt{2}，\sqrt{2}，0）$，
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}=\frac{\sqrt{2}}{2×3}=\frac{\sqrt{2}}{6}$．
可以判断＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞与二面角D-AE-B的平面角互补，
∴二面角D-AE-B的余弦值为-$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的大小，是中档题．