题目内容
15．若数列{an}中，a1=$\frac{1}{3}$，an+1=$\frac{n+1}{3n}$an．（1）证明：数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的是等比数列，
（2）求{an}的通项公式；
（3）求数列{an}前n项和为Sn．
分析 （1）数列{an}中，a1=$\frac{1}{3}$，an+1=$\frac{n+1}{3n}$an．变形为$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$×$\frac{1}{3}$，利用等比数列的定义即可证明．
（2）由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=$（\frac{1}{3}）^{n}$，即可得出an．
（3）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．
解答 （1）证明：∵数列{an}中，a1=$\frac{1}{3}$，an+1=$\frac{n+1}{3n}$an．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$×$\frac{1}{3}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的是等比数列，首项为$\frac{1}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$．
（2）解：由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=$（\frac{1}{3}）^{n}$，因此an=$\frac{n}{{3}^{n}}$．
（3）解：数列{an}前n项和为Sn=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}{S}_{n}$=$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$+$\frac{n}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}{S}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{3+2n}{2×{3}^{n+1}}$，
∴Sn=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$．
点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| A． | 若α⊥β，则l∥m | B． | 若α⊥β，则l⊥m | C． | 若l⊥m，则α∥β | D． | 若l∥m，则α⊥β |
| A． | [0，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$，π） | B． | [0，$\frac{π}{6}$]∪[$\frac{5π}{6}$，π） | C． | [0，$\frac{π}{6}$]∪[$\frac{5π}{6}$，π] | D． | [$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$] |