Question

17．已知a=$\int_0^{\frac{π}{6}}{cosxdx}$，则${（x+\frac{a}{x}）^8}$的展开式中的常数项是$\frac{35}{8}$．

Answer 1

分析 根据定积分的运算求出a的值，再利用二项展开式的通项公式求出常数项即可．

解答 解：∵a=${∫}_{0}^{\frac{π}{6}}$cosxdx=sinx${|}_{0}^{\frac{π}{6}}$=sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴在${（x+\frac{1}{2x}）}^{8}$的展开式中，设第r+1项为常数项，
则T_r+1=${C}_{8}^{r}$•x^8-r•${（\frac{1}{2x}）}^{r}$=${C}_{8}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•x^8-2r；
令8-2r=0，解得r=4，
∴展开式的常数项为T₅=${C}_{8}^{4}$•${（\frac{1}{2}）}^{4}$=$\frac{35}{8}$．
故答案为：$\frac{35}{8}$．

点评 本题考查了简单定积分的计算问题，也考查了利用通项公式计算展开式中常数项的应用问题，是基础题目．