Question

2．（1）求证：$\sqrt{3}$+1＜2$\sqrt{2}$；
（2）求证：$\sqrt{a}$-$\sqrt{a-1}$＜$\sqrt{a-2}$-$\sqrt{a-3}$，其中a≥3．

Answer 1

分析 （1）运用分析法证明，考虑两边平方，即可得证；
（2）运用分析法证明，运用分子有理化，结合不等式的性质，即可得证．

解答 证明：（1）要证$\sqrt{3}$+1＜2$\sqrt{2}$，
只要证4+2$\sqrt{3}$＜8，
即为2$\sqrt{3}$＜4，即12＜16显然成立，
故$\sqrt{3}$+1＜2$\sqrt{2}$；
（2）要证$\sqrt{a}$-$\sqrt{a-1}$＜$\sqrt{a-2}$-$\sqrt{a-3}$，其中a≥3．
只要证$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a-1}}{1}$＜$\frac{\sqrt{a-2}-\sqrt{a-3}}{1}$，
即为$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a-1}}$＜$\frac{1}{\sqrt{a-2}+\sqrt{a-3}}$，
即有$\sqrt{a}$+$\sqrt{a-1}$＞$\sqrt{a-2}$+$\sqrt{a-3}$，
由$\sqrt{a}$＞$\sqrt{a-2}$，$\sqrt{a-1}$＞$\sqrt{a-3}$，
则上式显然成立．
故$\sqrt{a}$-$\sqrt{a-1}$＜$\sqrt{a-2}$-$\sqrt{a-3}$，其中a≥3．

点评 本题考查根式不等式的证明，考查分析法的运用，考查不等式的性质，属于基础题．