Question

9．已知A，B，C是△ABC的三个内角，给出下列三组数据①sinA，sinB，sinC； ②sin²A，sin²B，sin²C；③cos²$\frac{A}{2}$，cos²$\frac{B}{2}$，cos²$\frac{C}{2}$；分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的数组的序号是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 根据正弦定理可判断出①正确，根究正弦定理、举特例判断出②不正确，根据二倍角余弦公式的变形进行化简，并利用作差法、和差化积公式化简后，由三角形内角的方范围判断出三边关系，可判断出③正确．

解答 解：①由正弦定理得sinA：sinB：sinC=a：b：c，
所以sinA，sinB，sinC作为三条线段的长一定能构成三角形，①正确；
②由正弦定理得sin²A：sin²B：sin²C=a²：b²：c²，
例如：a=3、b=4、c=5，则a²=9、b²=16、c²=25，
则a²+b²=25=c²，sin²A，sin²B，sin²C作为三条线段的长不能构成三角形，②不正确；
③因为cos²$\frac{A}{2}$=$\frac{1+cosA}{2}$，cos²$\frac{B}{2}$=$\frac{1+cosB}{2}$，cos²$\frac{C}{2}$=$\frac{1+cosC}{2}$，
所以（cos²$\frac{A}{2}$+cos²$\frac{B}{2}$）-cos²$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$（1+cosA+cosB-cosC）
因为cosA+cosB=2cos$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$＞0，1-cosC＞0，
所以1+cosA+cosB-cosC＞0，
即cos²$\frac{A}{2}$，cos²$\frac{B}{2}$，cos²$\frac{C}{2}$作为三条线段的长能构成三角形，③正确，
故选：B．

点评 本题考查正弦定理，二倍角余弦公式的变形的应用，以及能构成三角的条件，属于中档题．