Question

设函数f（x）=e^2x-4ae^x-2ax，g（x）=x²+5a²，a∈R
（1）若f（x）在R上单调递增，求a的取值范围；
（2）记F（x）=f（x）+g（x），求证：F（x）≥

4(1-ln2)2

5

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=2e^2x-4ae^x-2a=2（e^x-a）²-2a²-2a；从而由导数的正负确定a的取值范围；
（2）化简F（x）=f（x）+g（x）=e^2x-4ae^x-2ax+x²+5a²=（e^x-2a）²+（x-a）²，可知（e^x-2a）²+（x-a）²可看成函数y=e^x与y=2x上的点的距离的平方；从而由几何意义求解．

解答： 解：（1）f′（x）=2e^2x-4ae^x-2a
=2（e^x-a）²-2a²-2a；
当a≤0时，f（x）在R上单调递增，
当a＞0时，-2a²-2a≥0恒成立不可能，
故a的取值范围为（-∞，0]；
（2）证明：F（x）=f（x）+g（x）
=e^2x-4ae^x-2ax+x²+5a²
=（e^x-2a）²+（x-a）²，
（e^x-2a）²+（x-a）²可看成函数y=e^x与y=2x上的点的距离的平方；
故令y′=e^x=2得，
x=ln2，
故点的坐标为（ln2，2）；
故d=

|2ln2-2|

12+22

；
故F（x）≥（

|2ln2-2|

12+22

）²=

4(1-ln2)2

5

．

点评：本题考查了导数的综合应用及函数的几何意义的运用，属于中档题．