Question

14．已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=PB=PD=2，PA=$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）若E是PA的中点，求三棱锥P-BCE的体积．

Answer 1

分析 （I）连接AC交BD于O点，由BD⊥AC，BD⊥OP得出BD⊥平面PAC，故PC⊥BD；
（II）利用勾股定理计算OA，OP，证明OA⊥OP，得出三角形PCE的面积，于是V_P-BCE=V_B-PCE=$\frac{1}{3}$S_△PCE•OP．

解答 证明：（I）连接AC交BD于O点，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，O是BD的中点，
∵PB=PD，∴PO⊥BD，
又AC∩OP=O，AC?平面PAC，OP?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，又PC?平面PAC，
∴BD⊥PC．
（II）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴BD=AB=AD=2，∴OB=1，OA=$\sqrt{3}$，
∴OP=$\sqrt{P{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$，∴OA²+OP²=PA²，即OA⊥OP．
∴S_△PCE=$\frac{1}{2}$S_△PAC=S_△POA=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}×\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$．
∴又OB⊥平面PAC，
∴V_P-BCE=V_B-PCE=$\frac{1}{3}$S_△PCE•OB=$\frac{1}{3}×$$\frac{3}{2}$×1=$\frac{1}{2}$．

点评 题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．