Question

【题目】如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点．

（1）证明：平面；

（2）已知与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）取中点，连接、，根据题目条件，利用线面垂直的判定定理，得出平面，由于为中点，，，可证出四边形为平行四边形，得出，从而可证出平面；

（2）设，，根据（1）可知，平面，则到平面距离，设到面距离为，根据三棱锥等体积法有，得，得，因为与平面所成的角为30°，可求出，结合线面垂直的判定定理证出平面，进而得出为二面角的平面角，只需求出，即可求出二面角的余弦值．

解：（1）取中点，连接、，

∵∴，

∵平面，平面，

∴，

而平面，平面，

∴平面，

∵为中点，∴，，

∴，，

∴四边形为平行四边形，∴．

∴平面．

（2）设，，

则，，，

∴

∴，，

到平面距离，设到面距离为，

由，得，

即，得，

因为与平面所成的角为30°，

所以，

而在直角三角形中，，

所以，解得．

因为平面，平面，

所以，

又平面，平面，所以，

所以平面，

∵平面，平面

所以为二面角的平面角，

而，

可得四边形是正方形，所以，

则，

所以二面角的余弦值为．