Question

P为椭圆上的任意一点（异于顶点），椭圆短轴上两个端点分别是B₁、B₂若直线PB₁，PB₂分别与x轴交于点M，N，求证：|OM|，a，|ON|成等比数列．

Answer 1

【答案】分析：求出椭圆上下顶点坐标，设P（x_o，y_o）M（x_m，0）N（x_n，0），利用M，P，B₁三点共线求出M，N的横坐标，利用p在椭圆上，推出|OM|•|ON|=a²即可．
解答：解：由椭圆方程知B₁（0，b），B₂（0，-b）另设P（x_o，y_o）M（x_m，0）N（x_n，0）（2分）
由M，P，B₁三点共线，知（4分）
所以（6分）
同理得（9分）|OM|•|ON|=…①，
又P在椭圆上所以即代入①得              10分
|OM|•|ON|==（12分）
（或由向量共线，或由直线方程截距式等求得点M坐标可相应给分）
点评：本题是中档题，思路明确重点考查学生的计算能力，也可以由向量共线，或由直线方程截距式等求得点M坐标．