Question

已知F₁，F₂为椭圆的焦点，P为椭圆上的任意一点，∠F₁PF₂=45°．
（1）求椭圆的离心率的取值范围；
（2）求证：△F₁PF₂的面积与椭圆的短轴长有关．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，又|F₁F₂|=2c，∠F₁PF₂=45°，利用余弦定理可求得|PF₁|•|PF₂|，结合基本不等式建立不等关系，即可求出椭圆的离心率的取值范围；
（2）由（1）得，|PF₁|•|PF₂|=

4(a2-c2)

2+ 2

，利用三角形的面积，从而可求得△F₁PF₂的面积，即可得出答案．

解答：解：（1）∵不妨设P是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，∠F₁PF₂=45°，
∴|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，
在△F₁PF₂中，由余弦定理得：
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂
=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|cos45°
=4a²-2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|×

2

2

=4c²，
∴|PF₁|•|PF₂|=

4(a2-c2)

2+ 2

，
又PF1•PF2≤(

PF1+PF2

2

)2=a²，
∴

4(a2-c2)

2+ 2

≤a2，解得e²≥

2- 2

4

，
∴e≥

2- 2

2

，又e＜1，
∴椭圆的离心率的取值范围[

2- 2

2

，1）．
（2）由（1）知，|PF₁|•|PF₂|=

4(a2-c2)

2+ 2

，
S_△F1PF2=

1

2

PF₁•PF₂•sin45°=

1

2

4(a2-c2)

2+ 2

×

2

2

=（

2

-1）b²，
即：△F₁PF₂的面积与椭圆的短轴长有关．

点评：本题考查椭圆的简单性质与标准方程，考查余弦定理与三角形的面积，属于中档题．