Question

（2011•上海）若点O和点F分别为椭圆

x2

2

+y²=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|²+|PF|²的最小值为

2

．

Answer 1

分析：先求出左焦点坐标F，设P（x，y），根据P（x，y）在椭圆上可得到x、y的关系式，表示出|OP|²+|PF|²，再将x、y的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．

解答：解：由题意，F（-1，0），设点P（x，y），则有

x2

2

+y²=1，解得y²=1-

x2

2

，
因为|OP|²+|PF|²=x²+y²+（x+1）²+y²=x²+（x+1）²+2-x²=（x+1）²+2，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x=-1，
|OP|²+|PF|²的最小值为2．
故答案为：2．

点评：本题考查椭圆的方程、几何性质、两点间的距离公式、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力．