Question

若点O和点F分别为椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则

OP

•

FP

的取值范围为（　　）

A．[2，6]

B．[-2，6]

C．[0，3]

D．[.2，8]

Answer 1

分析：可设P（x，p），可求得

OP

与

FP

的坐标，利用向量的数量积的坐标公式结合椭圆的方程即可求得其答案．

解答：解：∵点P为椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上的任意一点，设P（x，y）（-2≤x≤2，-

3

≤y≤

3

），
依题意得左焦点F（-1，0），
∴

OP

=（x，y），

FP

=（x+1，y），
∴

OP

•

FP

=x（x+1）+y²
=x²+x+

12-3x2

4

=

1

4

x²+x+3
=(

1

2

x+1)2+2，
∵-2≤x≤2，
∴0≤

1

2

x+1≤2，
∴0≤(

1

2

x+1)2≤4，
∴2≤(

1

2

x+1)2+2≤6．
即2≤

OP

•

FP

≤6．
故选A．

点评：本题考查椭圆的简单性质，考查平面向量数量积的坐标运算，考查转化思想与解决问题的能力，属于中档题．