Question

5．已知函数f（x）=x+xlnx，若a∈Z，且直线y=ax在曲线y=f（x+1）的下方，则a的最大值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 令g（x）=f（x+1）-ax，求出g（x）的最小值，令g_min（x）≥0得出a的范围．

解答 解：∵直线y=ax在曲线y=f（x+1）的下方，
∴ax≤f（x+1）=x+1+（x+1）ln（x+1）=（x+1）[1+ln（x+1）]，
令g（x）=f（x+1）-ax=（x+1）[1+ln（x+1）]-ax，则g_min（x）≥0．
g′（x）=ln（x+1）+2-a，
令g′（x）=0得x=e^a-2-1，
∴当-1＜x＜e^a-2-1时，g′（x）＜0，当x＞e^a-2-1时，g′（x）＞0．
∴g（x）在（-1，e^a-2-1）上单调递减，在（e^a-2-1，+∞）上单调递增．
∴g_min（x）=g（e^a-2-1）=a-e^a-2≥0．
∴a≥e^a-2．
∵a∈Z，
经检验，a=1，2，3时上式均成立，a=4时，上式不成立，
∴a的最大值为3．
故选：C．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题．