Question

2．设关于x的方程2x²-ax-2=0的两根分别为α、β（α＜β），函数$f（x）=\frac{4x-a}{{{x^2}+1}}$
（1）证明f（x）在区间（α，β）上是增函数；
（2）当a为何值时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小．

Answer 1

分析 （1）设Φ（x）=2x²-ax-2，则当α＜x＜β时，Φ（x）＜0，利用f′（x）的符号进行判定函数的单调性即可；
（2）运用方程的根，求得f（α）•f（β）=$\frac{-64}{{a}^{2}+16-{a}^{2}}$=-4＜0，可知函数f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，而f（α）•f（β）=-4，则当f（β）=-f（α）=2时，f（β）-f（α）取最小值，从而得到结论．

解答 解：（1）证明：设Φ（x）=2x²-ax-2，则当α＜x＜β时，Φ（x）＜0．
f′（x）=$\frac{4（{x}^{2}+1）-2x（4x-a）}{（1+{x}^{2}）^{2}}$=-$\frac{2（2{x}^{2}-ax-2）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$＞0，
∴函数f（x）在（α，β）上是增函数．
（2）由关于x的方程2x²-ax-2=0的两根分别为α、β（α＜β），
可得α=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+16}}{4}$，β=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+16}}{4}$，
f（α）=$\frac{4α-a}{{α}^{2}+1}$=$\frac{-8}{\sqrt{{a}^{2}+16}-a}$，f（β）=$\frac{8}{\sqrt{{a}^{2}+16}+a}$，
即有f（α）•f（β）=$\frac{-64}{{a}^{2}+16-{a}^{2}}$=-4＜0，
函数f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，
∴当且仅当f（β）=-f（α）=2时，
f（β）-f（α）=|f（β）|+|f（α）|取最小值4，
此时a=0，f（β）=2．
当a=0时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小．

点评 本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数单调性的判定和函数最值等有关知识，同时考查了计算能力，属于中档题．