Question

已知函数f（x）的定义域为（-3，3），函数g（x）=f（2x-1）+f（x-3）．
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）若f（x）是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g（x）≤0的解集．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意知，

-3＜2x-1＜3 -3＜x-3＜3

，解此不等式组得出函数g（x）的定义域．
（2）等式g（x）≤0，即  f（x-1）≤-f（3-2x）=f（2x-3），有

-3＜2x-1＜3 -3＜x-3＜3 2x-1≥3-x

，解此不等式组，
可得结果．

解答： 解：（1）∵数f（x）的定义域为（-3，3），函数g（x）=f（2x-1）+f（x-3）．
∴

-3＜2x-1＜3 -3＜x-3＜3

，
∴0＜x＜2，
函数g（x）的定义域（0，2）．
（2）∵f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，不等式g（x）≤0，
∴f（2x-1）≤-f（x-3）=f（3-x），
∴

-3＜2x-1＜3 -3＜x-3＜3 2x-1≥3-x

，
∴

4

3

≤x＜2，
故不等式g（x）≤0的解集是[

4

3

，2）．

点评：本题考查函数的定义域的求法，利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于基础题．