Question

8．已知所P（0，3），点A是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的任意一点，点B是点A关于原点的对称点，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围是[5，8]．

Answer 1

分析 设A（x，y），则B（-x，-y）根据向量坐标关系，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：设A（x，y），则B（-x，-y），
则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（x，y-3）•（-x，-y-3）=-x²-（y-3）（y+3）=-x²-y²+9，
∵A是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的任意一点，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，即y²=1-$\frac{{x}^{2}}{4}$，-2≤x≤2，
则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-x²-y²+9=-x²-（1-$\frac{{x}^{2}}{4}$）+9=-$\frac{3{x}^{2}}{4}$+8，
∵-2≤x≤2，
∴当x=0时，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$最大，此时$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=8，
当x=2或-2时，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$最小，此时$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=8-3=5，
即5≤$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$≤8，
故答案为：[5，8]

点评 本题主要考查椭圆性质的应用，利用向量数量积的坐标公式，利用消元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．