题目内容
设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．证明：
（Ⅰ）a2+b2+c2≥
；
（Ⅱ）
+
+
≤
．
（Ⅰ）a2+b2+c2≥
| 1 |
| 3 |
（Ⅱ）
| a |
| b |
| c |
| 3 |
考点：不等式的证明
专题：证明题,不等式的解法及应用
分析：（Ⅰ）利用基本不等式ab≤
，bc≤
，ca≤
⇒a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3（a2+b2+c2）⇒（a+b+c）2≤3（a2+b2+c2），依题意，即可证得结论；
（Ⅱ）依题意，可证(
+
+
)2=1+2
+2
+2
≤1+[（a+b）+（b+c）+（c+a）]=3．
| a2+b2 |
| 2 |
| b2+c2 |
| 2 |
| c2+a2 |
| 2 |
（Ⅱ）依题意，可证(
| a |
| b |
| c |
| ab |
| bc |
| ac |
解答：
证明：（Ⅰ）∵ab≤
，bc≤
，ca≤
，
三式相加得：ab+bc+ca≤a2+b2+c2，
∴2ab+2bc+2ca≤2a2+2b2+2c2，
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3（a2+b2+c2），
∴（a+b+c）2≤3（a2+b2+c2），
∵a，b，c均为正数，且a+b+c=1，
∴（a2+b2+c2）≥1，
∴a2+b2+c2≥
（当且仅当a=b=c=
时取“=”）
（Ⅱ）∵a，b，c均为正数，且a+b+c=1，
∴(
+
+
)2
=a+b+c+2
+2
+2
=1+2
+2
+2
≤1+[（a+b）+（b+c）+（c+a）]
=1+2（a+b+c）
=1+2=3，
∴
+
+
≤
．
| a2+b2 |
| 2 |
| b2+c2 |
| 2 |
| c2+a2 |
| 2 |
三式相加得：ab+bc+ca≤a2+b2+c2，
∴2ab+2bc+2ca≤2a2+2b2+2c2，
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3（a2+b2+c2），
∴（a+b+c）2≤3（a2+b2+c2），
∵a，b，c均为正数，且a+b+c=1，
∴（a2+b2+c2）≥1，
∴a2+b2+c2≥
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（Ⅱ）∵a，b，c均为正数，且a+b+c=1，
∴(
| a |
| b |
| c |
=a+b+c+2
| ab |
| bc |
| ac |
=1+2
| ab |
| bc |
| ac |
≤1+[（a+b）+（b+c）+（c+a）]
=1+2（a+b+c）
=1+2=3，
∴
| a |
| b |
| c |
| 3 |
点评：本题考查不等式的证明，着重考查基本不等式的变形与应用，考查综合法与推理论证的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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函数f（x）=
•
，奇偶性判断正确的是（ ）
| x2-1 |
| 1-x2 |
| A、是偶函数但不是奇函数 |
| B、既是奇函数又是偶函数 |
| C、是奇函数但不是偶函数 |
| D、既不是奇函数又不是偶函数 |