Question

20．数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意的n∈N^*，总有a_n，S_n，a${\;}_{n}^{2}$成等差数列．
（1）求a₁；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）a_n，S_n，${{a}_{n}}^{2}$成等差数列⇒2S_n=a_n+${{a}_{n}}^{2}$，令n=1，a₁＞0，即可求得a₁；
（2）由2S_n=a_n+${{a}_{n}}^{2}$①，当n≥2时，2S_n-1=a_n-1+${{a}_{n-1}}^{2}$②，①-②，利用等差数列的定义可得数列{a_n}为公差为1、a₁=1的等差数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（3）利用裂项法可得$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，于是可求{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵对于任意的n∈N^*，总有a_n，S_n，${{a}_{n}}^{2}$成等差数列，
∴2S_n=a_n+${{a}_{n}}^{2}$，
当n=1时，2a₁=a₁+${{a}_{1}}^{2}$，又a₁＞0，
∴a₁=1；
（2）由2S_n=a_n+${{a}_{n}}^{2}$，①
当n≥2时，2S_n-1=a_n-1+${{a}_{n-1}}^{2}$，②
①-②得：2a_n=a_n-a_n-1+${{a}_{n}}^{2}$-${{a}_{n-1}}^{2}$，即a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n-a_n-1=1，即数列{a_n}为公差为1的等差数列，
又a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n；
（3）∵$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等差数列的判定及其通项公式的求法，考查裂项法求和，属于中档题．