Question

16．设函数f（x）=x³-ax-b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x₀，且f（x₁）=f（x₀），其中x₁≠x₀，求证：x₁+2x₀=0；
（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[-1，1]上的最大值不小于$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，讨论a≤0时f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（2）由条件判断出a＞0，且x₀≠0，由f′（x₀）=0求出x₀，分别代入解析式化简f（x₀），f（-2x₀），化简整理后可得证；
（3）设g（x）在区间[-1，1]上的最大值M，根据极值点与区间的关系对a分三种情况讨论，运用f（x）单调性和前两问的结论，求出g（x）在区间上的取值范围，利用a的范围化简整理后求出M，再利用不等式的性质证明结论成立．

解答 解：（1）若f（x）=x³-ax-b，则f′（x）=3x²-a，
分两种情况讨论：
①、当a≤0时，有f′（x）=3x²-a≥0恒成立，
此时f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），
②、当a＞0时，令f′（x）=3x²-a=0，解得x=$-\frac{\sqrt{3a}}{3}$或x=$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，
当x＞$\frac{\sqrt{3a}}{3}$或x＜-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$时，f′（x）=3x²-a＞0，f（x）为增函数，
当-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{3a}}{3}$时，f′（x）=3x²-a＜0，f（x）为减函数，
故f（x）的增区间为（-∞，-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$），（$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，+∞），减区间为（-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，$\frac{\sqrt{3a}}{3}$）；
（2）若f（x）存在极值点x₀，则必有a＞0，且x₀≠0，
由题意可得，f′（x）=3x²-a，则x₀²=$\frac{a}{3}$，
进而f（x₀）=x₀³-ax₀-b=-$\frac{2a}{3}$x₀-b，
又f（-2x₀）=-8x₀³+2ax₀-b=-$\frac{8}{3}$x₀+2ax₀-b=f（x₀），
由题意及（Ⅰ）可得：存在唯一的实数x₁，满足f（x₁）=f（x₀），其中x₁≠x₀，
则有x₁=-2x₀，故有x₁+2x₀=0；
（Ⅲ）设g（x）在区间[-1，1]上的最大值M，max{x，y}表示x、y两个数的最大值，
下面分三种情况讨论：
①当a≥3时，-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$≤-1＜1≤$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，
由（I）知f（x）在区间[-1，1]上单调递减，
所以f（x）在区间[-1，1]上的取值范围是[f（1），f（-1）]，
因此M=max{|f（1）|，|f（-1）|}=max{|1-a-b|，|-1+a-b|}
=max{|a-1+b|，|a-1-b|}=$\left\{\begin{array}{l}{a-1+b，b≥0}\\{a-1-b，b＜0}\end{array}\right.$，
所以M=a-1+|b|≥2
②当$\frac{3}{4}≤$a＜3时，$-\frac{2\sqrt{3a}}{3}≤-1＜-\frac{\sqrt{3a}}{3}＜\frac{\sqrt{3a}}{3}＜1≤$$\frac{2\sqrt{3a}}{3}$，
由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（-1）≥$f（-\frac{2\sqrt{3a}}{3}）$=f（$\frac{\sqrt{3a}}{3}$），f（1）≤$f（\frac{2\sqrt{3a}}{3}）$=$f（-\frac{\sqrt{3a}}{3}）$，
所以f（x）在区间[-1，1]上的取值范围是[f（$\frac{\sqrt{3a}}{3}$），f（-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$）]，
因此M=max{|f（$\frac{\sqrt{3a}}{3}$）|，|f（-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$）|}=max{|$-\frac{2a}{9}\sqrt{3a}-b$|，|$\frac{2a}{9}\sqrt{3a}-b$|}
=max{|$\frac{2a}{9}\sqrt{3a}+b$|，|$\frac{2a}{9}\sqrt{3a}-b$|}=$\frac{2a}{9}\sqrt{3a}+|b|$$≥\frac{2}{9}×\frac{3}{4}×\sqrt{3×\frac{3}{4}}=\frac{1}{4}$，
③当0＜a＜$\frac{3}{4}$时，$-1＜-\frac{2\sqrt{3a}}{3}＜\frac{2\sqrt{3a}}{3}＜1$，
由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（-1）＜$f（-\frac{2\sqrt{3a}}{3}）$=f（$\frac{\sqrt{3a}}{3}$），f（1）＞$f（\frac{2\sqrt{3a}}{3}）$=$f（-\frac{\sqrt{3a}}{3}）$，
所以f（x）在区间[-1，1]上的取值范围是[f（-1），f（1）]，
因此M=max{|f（-1）|，|f（1）|}=max{|-1+a-b|，|1-a-b|}
=max{|1-a+b|，|1-a-b|}=1-a+|b|＞$\frac{1}{4}$，
综上所述，当a＞0时，g（x）在区间[-1，1]上的最大值不小于$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和最值，不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查分析法在证明中的应用，以及化简整理、运算能力，属于难题．